平方差公式练习题（平方差公式试题）

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乘积差公式

本文给出一种新颖且要更加广义的乘积差公式，而我们早已熟知的平方差公式，只是其中的一个特例。

一、平方差公式

打开数学手册的第一页，就能够看到平方差公式，a^2 – b^2 =(a-b)(a+b)。这个公式的特点是，仅凭着两个乘积中的乘数a和b，就能够把两个乘积之间的差值，直接写成一个因数分解式；而整数的因数分解，恰恰是数论中最难的课题之一（现代密码学，就是建立在因数分解难解性的基础上发展起来的）。

因为每一个乘积都是由两个相等的整数相乘，所以称它们之间的差值为平方差公式。

二、乘积差公式

毕竟乘积中的乘数不相等是更加普遍的情况，那么当乘数不相等时，例如（1023*1025）-（513*515），在这样的两个乘积之间进行一次减法，无需过多的计算，仍然可以直接获得类似的因数分解式吗？老师没教过，数学手册上也没有，如果有需求怎么办？那就发明一个呗！

假设乘积A = aˇ1*aˇ2，允许其中的乘（因）数不一定相等，即aˇ2 ≥ aˇ1，可令乘数差Cˇa = aˇ2–aˇ1；设乘积B = bˇ1*bˇ2，同样允许bˇ2 ≥ bˇ1，乘数差Cˇb = bˇ2–bˇ1。当这样两个不一定是平方数的乘积相减时，可有乘积差公式，

A – B = aˇ1*aˇ2 – bˇ1*bˇ2 =（aˇ1- bˇ1）（aˇ2+ bˇ1）+(Cˇa- Cˇb)*bˇ1

这是一个更加广义的公式。当两个乘积之间乘数的差值相等时，即Cˇa = Cˇb，则简化为，

aˇ1*aˇ2 – bˇ1*bˇ2 =（aˇ1- bˇ1）（aˇ2+ bˇ1）

这就是说，即使乘积中的乘数并不相等，即aˇ1 ≠ aˇ2，bˇ1 ≠ bˇ2，但是只要乘数差是相等的，即，aˇ2–aˇ1 = bˇ2–bˇ1，两个乘积之差仍可被直接写成一个因数分解式。

如果aˇ1 = aˇ2，bˇ1 = bˇ2，就进一步简化成为我们已经熟知的平方差公式。

当bˇ1 ≠ bˇ2时，貌似在上述公式中，并没有体现出有乘数bˇ2什么事，实际上它已由乘数差Cˇb表达出来；从下述的公式证明过程看，没有问题。

显然，这种新型的乘积差公式比平方差公式要更加广义，用途当然也就要广泛得多。从它的基础性而言，如果今后哪本书中没有这个公式出现，那就只是本数学书而已，不能被称为数学手册了吧？

【证明】

如果Cˇa = Cˇb，那么，

（aˇ1- bˇ1）（aˇ2+ bˇ1）= aˇ1*aˇ2 + aˇ1*bˇ1 – bˇ1*aˇ2 – bˇ1*bˇ1

= aˇ1*aˇ2 – (aˇ2-aˇ1)*bˇ1 – bˇ1*bˇ1

= aˇ1*aˇ2 – Cˇa*bˇ1 – bˇ1*bˇ1

= aˇ1*aˇ2 – bˇ1*（Cˇa+bˇ1）

= aˇ1*aˇ2 – bˇ1*（Cˇb+bˇ1）

= aˇ1*aˇ2 – bˇ1*bˇ2

证明完毕。

还可以验证一下。已知1048575-264195 = 784380。假设事先能够获知它们的乘积形式，即，1048575 = 1023*1025，其中Cˇa = 1025-1023 = 2；264195 = 513*515，Cˇb = 515-513 = 2。因为Cˇa = Cˇb，就可以直接利用乘积差公式，同样得到，

1048575-264195 = 1023*1025–513*515 =（1023-513）（1025+513）+（2-2）*513 = 510*1538 = 784380

验证无误。

这样一来，无需经过复杂的因数分解计算，利用公式，两个乘积（合数）之间的差值，784380可以被直接分解成为510和1538两个因数。

当Cˇa ≠ Cˇb时，公式的证明方法类似（略去），但可验证一下。

已知1048575–729 = 1047846。若知1048575 = 1023*1025，乘数差Cˇa = 1025-1023 = 2；729 = 27*27，乘数差Cˇb = 27-27 = 0，这时两个乘数差并不相等，即，Cˇa – Cˇb = 2。如果利用乘积差公式，同样可有，

1048575–729 = 1023*1025-27*27 =（1023-27）（1025+27）+（2-0）*27 = 996*1052 + 54 = 1047846

当乘积的表达形式并不唯一时，例如在上式中可有，729 = 27*27 = 9*81 = 3*243，无论是选择哪种表达形式，例如选择乘数的差值，C = 81-9 = 72，乘积差公式仍然可以成立，

1048575–729 = 1023*1025-9*81 =（1023-9）（1025+9）+（2-72）*9 = 1014*1034 – 630 = 1047846

验证无误。

这就是说，即使同一个整数被写成不同的乘积形式，乘积差公式均可适用。

上述讨论内容属于初等代数的范围，既是基础也非常简单实用。下节的讨论就要略微复杂一些，但中学水平仍可大致理解；不过，不是从事数学工作的朋友不看也罢。

三、乘积差公式在计算最大公约数时的应用

1）最大公约数背景简介

目前常用的最大公约数算法有四种：质因数分解法、短除法、碾转相除法和更相减损法。但是，它们的计算复杂度都是指数时间等级。通俗点说就是，当两个数值变大时，求出它们最大公约数所需要的计算量，将以指数的形式急剧增长。

简单地介绍一下其中两种。质因数分解法，是先把A和B两个合数分别进行因数分解，然后就可以很容易地找出所有相同的因数。难点在于因数分解是目前数论中最难的课题之一。

更相减损法，是利用把A和B两个数相减以后，它们的差值仍将保留着与A和B之间相同公约数的原理，不断地进行减法计算，直到获取最大的公约数。例如，假设A = g*a，B = g*b，其中g是它们的最大公约数，记为gcd(A,B) = g；而它们的差值，A – B = g*(a-b)，仍然会含有相同的公约数。难点在于需要多次进行减法计算，随着数值的增长，计算量太大。

别看最大公约数的概念非常简单，在小学五年级时就应该可以学到，但相应的算法却有上千年的历史了。在现代，它被认为是一个NP完全问题，因此属于当今最顶尖的数学难题（排在七大难题中的首位）。简单地说就是，这类问题存在着计算量比较小，复杂度为0(nk)的多项式时间等级算法吗？其中n代表A或B数值的位长；无论k的数值有多么大，只要是个常数即可，但是越小计算量就越少。这个问题看似简单其实极难，所以目前尚无定论。按照常理，有些难题现在没有好的解法，并不代表将来就一定没有。但不幸的是，对于所有的NP完全问题（包括最大公约数、布尔可满足性、汉密尔顿循环、推销员路径问题在内，大约有几千个；但是根据库克定理，只要其中任意一个获解，这一类问题全部都可以有解），绝大多数数学家都猜测：将来也不会有。即使是在剩下的少数人当中，大多也只是认为不一定没有；鲜见有人认为将来一定会有。博主认为：将来会有。

2）引进一种全新的整数分类方式

为什么首先需要引进一种全新的整数分类方式？

现有的最大公约数算法，大多需要在两个合数之间进行减法计算；但是在绝大多数情况下，我们却无法把合数立即用乘积的形式来表达。这就是说，在现有的数学体系下，即使是获得了这种崭新的乘积差公式，从理论上讲可以弥补平方差公式的局限性，但是它的应用仍然会受到极大的限制。这是一种矛盾：当两个合数相减时，因为合数的因数分解难题，无法写成两个乘积之间的相减式，影响了乘积差公式的直接应用；而一旦解决了合数的因数分解算法难题，那就又不需要应用乘积差公式来帮助解决最大公约数问题了。在后面的第4小节中将会看到，怎么样应用博主新创立出来的整除关系数的理论，来缓解现有数学体系下，因为整数的分类不够细化，而导致的这种矛盾及不足。

随着研究的深入，因为后续的更多成果属于原创性质，已无法给出洋跟班似的参考文献，不适应、或者说是无法在现有的科学刊物上，以八股文的形式顺利地发表（即使是已经发表的几篇论文，大多都被拒绝过，经过力争或者疏通后才被接纳）。而隐藏已经取得的成果，是对人类知识的不尊重。因此，博主有选择性地将部分成果在博客中发布，是非功过由世人去评说。

3）整除关系数的定义

这是一种新型的数字分类体系，认为任意一个整数，除了可以用有理数与无理数、实数与虚数、奇数与偶数，……，等常规的方法，对它们进行简单分类以外，还可以被进一步地细化描述；依照整除关系式，把它们归纳为不同类型的整除关系数。常识告诉我们，如果对于某种客观事物刻画得越细致，解决问题的方法通常就会越多越好。对于数字的分类也是如此。在这种具有原创性质的数字分类体系下，取得了一些有意义的成果（例如因数分解、秘钥破译等等），部分内容已经发表在“中国科技论文在线”上，详见“合数、费马数较大因数的快速筛选”、“余数的等差级数表达”、“快速模除求余算法”、“一种新型的因数分解算法”等论文。

只需进行一次除法，就可以很容易地得到任意一个整（合）数的整除关系式，据此，就可以对于所有的整数重新进行细化分类。

整除关系数定义：

假设除数aˇ1为小于A＾1/2且最接近A＾1/2的某个奇数，那么可以得到整数A的一个整除关系式，A = aˇ1*aˇ2 + rˇa，其中aˇ1为除数，aˇ2为系数，aˇ2 ≥aˇ1，rˇa为余数。令C = aˇ2–aˇ1，假如aˇ2 = aˇ1，那么C = 0，可称整数A为C0rˇa类型的整除关系数。如果aˇ2 – aˇ1 = 1，那么C = 1，则称其为C1rˇa型。其余以此类推。

例如，2603 = 51*51+2，因为C = 51-51 = 0，余数R = 2，可以称其为是C0R2型的整除关系数。如果2605 = 51*51+4，因为C = 51-51 = 0，而余数R = 4，则称其为C0R4型的整除关系数。

同样可以得到整数B的整除关系式，B = bˇ1*bˇ2 + rˇb，其中bˇ1为除数，bˇ2为系数，rˇb为余数，同样定义C = bˇ2–bˇ1。

当余数相等，即，rˇa = rˇb时，如果A和B的C值也相同，那么A和B就属于同一个类型的整除关系数。这就是说，整除关系数是按照整除关系式中，系数与除数的差值C，以及余数的大小来进行分类的。属于同一个类型的整除关系数，包含有无数多个大小不一的数值。例如C0R2类型中可有，3*3+2，5*5+2，7*7+2，……。而且任意一个整数，都可以被归纳到某一种整除关系数中去。

本节只是为了统一，定义除数aˇ1为小于A＾1/2，且最接近＾A1/2的某个奇数，aˇ2 ≥aˇ1，但是这种定义可以放宽。也就是说，如有需要，同一个整数，当改变除数aˇ1时，可以被写成多种不同的整除关系数，也不一定要求余数rˇa ＜aˇ1。

既然这种崭新的数字分类体系可以适用于所有的整数（本主认为在虚数领域里也可以展开），那么一个顺其自然的问题随之而来，以整除关系数的形式进行减法运算，相比原有的数学体系，有什么特别的好处吗？乘积差公式就是在这样的研究过程中被提出和发现的。博主的结论是：同类整除关系数之间的一次减法计算，如果应用乘积差公式，可以使得因数分解的效率大增。

4）计算最大公约数举例

假如要求两个奇数43046723（=19*2265617）和2603（=19*137）之间的最大公约数，按照更相减损法，首先需要把它们相减。那么可有，43046723–2603 = 43044120 = 5*8*1076103。显然，仅靠一次减法，是无法得到它们的最大公约数19，还需要对奇数1076103继续进行分解。

在通常情况下，把一个合数写成因数分解式，并不是一件容易的事，或者说是非常困难。所以上例表明，很难按照更相减损法，直接应用乘积差公式，来求取两个合数之间的公约数。但是，可以先把它们转换成为整除关系数的形式；例如，43046723 = 6561*6561+2，2603 = 51*51+2，再进行减法计算。因为它们是同类型的整除关系数，事情就会变得很简单，可以根据乘积差公式直接得到，

43046723–2603 =（6561-51）（6561+51）+（0–0）*51 +（2–2）= 6510*6612 = 5*8*651*1653

同样是在两个整数之间进行了一次减法计算，但是由于对整数的理解和表达方法不同，仅凭着整除关系数中的乘数和系数，利用乘积差公式，就可以把1076103直接分解为651和1653两个因数。即使它们并不一定是质数，但是需要继续进行质因数分解的数值却大约降低了平方倍，相当于只需要对A1/2数值级别的整数继续进行因数分解，因而计算量被大大降低了。

从计算复杂度的角度上看，相当于以O(n)或者是O(n2)的计算量（这是一种极好的多项式时间等级），完成了两个整数之间差值的初步因数分解。这种效率的提升，要归功于在进行整数的减法计算之前，首先引进可以详细描述整（合）数特点的“DNA技术”——整除关系数，再与乘积差公式完美地结合起来。

无论乘数差C的数值是否等于零，只要两个整除关系数属于同一个类型，当它们相减时，这种神奇的因数分解效率始终存在。数值越大时，这种效果就会越加明显。

然后可以按照更相减损法，分别对651和1653继续进行计算。很容易得到，2603-651 = 1952 = 25*61，2603-1653 = 950 = 2*52*19。很快就能够验证出，在得到的61和19这两个质数中，19就是43046723和2603之间的最大公约数，即gcd(43046723,2603)= 19。

在计算两个不同类型的整除关系数之差时，即使利用乘积差公式，也不一定能够得到因数分解式；此时计算最大公约数，需要一数一议。

四、结束语

说句题外的话，把整数写成整除关系数的形式，相比较乘积差公式，是另外一个课题。而且所带来的好处（例如形成新型的因数分解算法），远非帮助计算出最大公约数仅此而已，另有甚多。例如，可以很直观地看到，只要是同一个类型的整除关系数，它们因数的数值结构都具有某种共同的规律可循；尤其是在一种新型的因数分解数学模型中（利用博主发明并已公布的余数定理，可以构成一种新型的二元二次不定方程，其中两个未知数分别是：因数和L数），在这种新的数字分类体系下显而易见的L数值的结构规律，有助于快速分解出合数中较大的因数（从此秘钥无“大数”）。

这样一来，仅需很少的计算量，凭借着对于几个很小合数的因数分解式的了解，就可以揣摩、总结出只要是属于同一个类型，无论它们的数值大或小，即使是任意大合数也可以适用的因数数值的分布规律；或者是与因数相对应的L数值的结构规律，从而减少筛选因数时的计算量。

研究告一段落，心有感慨：一分忐忑，二分狐疑，三分寂寞。乘积差公式比我们已知的平方差公式要更加广义，既简单又实用，而且是属于数学中最基础的初等代数内容，怎么会时经千百年，历经那么多的前辈大师都没有被发现呢？一般来说，越是在最基础的科学领域里面，就越没有创新的可能性；但是一旦有所创新，对于上层建筑的影响应该就会越大。那么，在现有的数字分类体系、四则运算等最基础的数学领域里，还有创新的可能性吗？本主认为有，太有了。

吾本“下里巴人”，奈何和者盖寡？

每个人都希望能够在历史的长河中，留下一抹色彩。如有可能，希望朋友们把这篇文章传播出去，尽可能地让更多的人获知，使得科学收益。我在书写历史的同时，卿等也在加彩，这要比在历史古迹上，刻下“张三李四到此一游”，有意义得多。

............试读结束............

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